Question

【題目】已知函數，函數的圖象在處的切線與直線平行.

（Ⅰ）求實數的值；

（Ⅱ）若函數存在單調遞減區間，求實數的取值范圍；

（Ⅲ）設()是函數的兩個極值點，若，試求的最小值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）1； （Ⅱ）； （Ⅲ）.

【解析】

（Ⅰ）利用導數的幾何意義，結合平行線的斜率相等，得f′（1）=2，即可求得實數a的值；

（Ⅱ）由題意知g′（x）＜0在（0，+∞）上有解，結合二次函數的圖象和性質，求解b的取值范圍；

（Ⅲ）結合（Ⅱ），可知兩個極值點，，求出，令t，構造出函數；再根據，求得函數的定義域，進而利用導數求的最小值即可.

（Ⅰ）∵，∴.

∵切線與直線平行，

∴，∴.

（Ⅱ）易得()，

∴ ().

由題意，知函數存在單調遞減區間,等價于在上有解，

∵，則故可設.

而，所以，要使在上有解，

則只須， 即，

故所求實數的取值范圍是.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，

令，得.

∵()是函數的兩個極值點，

∴()是方程的兩個根，

∴，.

∴

令，∵，∴，

且.

∵，∴，

∴

化簡整理，得,解得或.

而，∴.

，∴函數在單調遞減，

∴.

故的最小值為.