Question

（選做題）在直角坐標系xOy中，曲線C₁的參數方程為

x=-3t+2 y=4t.

(t為參數），P為C₁上的動點，Q為線段OP的中點．
（Ⅰ）求點Q的軌跡C₂的方程；
（Ⅱ）在以O為極點，x軸的正半軸為極軸（兩坐標系取相同的長度單位）的極坐標系中，N為曲線ρ=2sinθ上的動點，M為C₂與x軸的交點，求|MN|的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）設Q（x，y），則∵Q為線段OP的中點，∴點P（2x，2y），
又P為C₁上的動點，曲線C₁的參數方程為

x=-3t+2 y=4t

∴

2x=-3t+2 2y=4t

（t為參數）
∴

x=- 3 2 t+1 y=2t

（t為參數）
∴點Q的軌跡C₂的方程為

x=- 3 2 t+1 y=2t

（t為參數）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得點M（1，0），
∵曲線ρ=2sinθ
∴ρ²=2ρsinθ
∴x²+y²=2y
∴x²+（y-1）²=1
即曲線ρ=2sinθ的直角坐標方程為x²+（y-1）²=1
∴|MN|的最大值為

12+12

+1=1+

2

．