Question

在幾何體ABCDE中，∠BAC=

π

2

，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB=AC=BE=2，CD=1．
（1）設平面ABE與平面ACD的交線為直線l，求證：l∥平面BCDE；
（2）設F是BC的中點，求證：平面AFD⊥平面AFE；
（3）求幾何體ABCDE的體積．

Answer 1

分析：（1）根據DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC判斷出DC∥EB，進而利用直線與平面平行的判斷定理可知DC∥平面ABE，利用直線與平面平行的性質可推斷出DC∥l，進而可推斷出l∥平面BCDE．
（2）根據DC⊥平面ABC推斷出DC⊥AF，同時利用AB=AC，F是BC的中點推斷出AF⊥BC，AF⊥平面BCDE進而利用直線與平面垂直的性質可知AF⊥DF，AF⊥EF進而可推斷出∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角，利用勾股定理可推斷出FD⊥FE，推斷出∠DFE=90°，進而證明出平面AFD⊥平面AFE．
（3）幾何體ABCDE的體積，即四棱錐A-BCDE的體積，其底面是一個直角梯形，高為AF，代入體積公式可得答案．

解答：證明：（1）∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC
∴DC∥BE，
∴DC∥平面ABE
又l=平面ACD∩平面ABE
∴DC∥l
又l?平面BCDE，DC?平面BCDE
∴l∥平面BCDE．
（2）∵DC⊥平面ABC
∴DC⊥AF
∵AB=AC，F是BC的中點
∴AF⊥BC，AF⊥平面BCDE
∴AF⊥DF，AF⊥EF
∴∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角
在△DEF中，FD=

3

，FE=

6

，DE=3
FD⊥FE，即∠DFE=90°
∴平面AFD⊥平面AFE
（3）幾何體ABCDE的體積V=V_A-BCDE=

1

3

•S_BCDE•AF=

1

3

×

1

2

（1+2）×2

2

×

2

=2

點評：本題主要考查了平面與平面垂直的性質，直線與平面平行的判定等．要求考生對基本定理能熟練掌握．