Question

在幾何體ABCDE中，∠BAC=

π

2

，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，F是BC的中點，AB=AC=BE=2，CD=1
（1）求證：DC∥平面ABE；
（2）求證：AF⊥平面BCDE；
（3）求證：平面AFD⊥平面AFE．

Answer 1

分析：（1）要證明DC∥平面ABE，關鍵是要在平面ABE中找到可能與DC平行的直線，觀察發現BE滿足要求，根據已知證明BE∥DC，再根據線面平行的判定定理即可求解．
（2）要證明AF⊥平面BCDE，由我們要證明AF與平面BCDE中兩條相交直線都垂直，由題意分析易證DC、BC均為AF垂直；
（3）由（2）的結論，我們不難證明EF⊥平面AFD，我們再由面面垂直的判定定理，即可得到結論．

解答：解：（1）∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，
∴DC∥EB，
又∵DC?平面ABE，
EB?平面ABE，
∴DC∥平面ABE，
（2）∵DC⊥平面ABC，∴DC⊥AF，
又∵AF⊥BC，
∴AF⊥平面BCDE，
（3）由（2）知AF⊥平面BCDE，
∴AF⊥EF，在三角形DEF中，由計算知DF⊥EF，
∴EF⊥平面AFD，又EF?平面AFE，
∴平面AFD⊥平面AFE．

點評：線線垂直可由線面垂直的性質推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據．垂直問題的證明，其一般規律是“由已知想性質，由求證想判定”，也就是說，根據已知條件去思考有關的性質定理；根據要求證的結論去思考有關的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結合起來．