Question

如圖，在幾何體ABCDE中，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，BE和CD都垂直于平面ABC，且BE=AB=2，CD=1，點F是AE的中點．
（1）求證：DF∥平面ABC；
（2）求二面角F-BD-A的大小．

Answer 1

分析：（1）取AB的中點G，利用三角形的中位線平行且等于底邊的一半得到四邊形FGCD是平行四邊形，進一步得到DF∥CG，利用直線與平面平行的判定定理得證．
（2）建立空間直角坐標系，利用平面的法向量垂直于平面內兩相交向量，求出平面BDF與平面ABD的法向量，利用向量的數量積求出兩個法向量的夾角余弦，根據平面與平面所成角與法向量所成角的關系求出二面角F-BD-A的大�。�

解答：解：（1）取AB的中點G，連CG，FG，
則FG∥BE，且FG=

1

2

BE，
∴FG∥CD且FG=CD，
∴四邊形FGCD是平行四邊形，
∴DF∥CG，
∵CG?平面ABC，FD?平面ABC
∴DF∥平面ABC．…（5分）
（2）以點B為原點，BA、BC、BE所在的直線分別為 x、y、z軸，
建立如圖的空間直角坐標系，則
B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），
D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）．
∴

BD

=（0，2，1），

DF

=（1，-2，0）
設平面BDF的一個法向量為

n

=（x，y，z），
∵

n

⊥

DF

，

n

⊥

BD

，
∴

n • DF =0 n • BD =0

，即

(x，y，z)•(1，-2，0)=0 (x，y，z)•(0，2，1)=0

，解得

x-2y=0 2y+z=0

，
則x=2y，z=-2y  令y=1則x=2，z=-2
∴

n

=(2，1，-2)…（7分）

BA

=（2，0，0），

DF

=（0，2，1）
設

m

=(x，y，z)是平面ABD的一個法向量
所以 

BA

•

m

=0

BD

•

m

=0

2x=0 2y+z=0

解得：x=0，z=-2y
令y=1  得  z=-2   所以

m

=(0，1，-2)…（9分）
二面角F-BD-A的平面角為θ，顯然是銳角．
即cosθ=|cos＜

n

，

m

＞|=|

n • m

| n || m |

|=|

(2，1，-2)•(0，1，-2)

3× 5

|=

5

5

即θ=arccos

5

5

…（12分）

點評：主要考查了空間直線與平面的位置關系和二面角等基礎知識，同時考查了空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，在高考中以解答題的形式出現，常用的工具是空間向量．