Question

已知：三次函數f（x）=x³+ax²+bx+c，在（-∞，-1），（2，+∞）上單調增，在（-1，2）上單調減，當且僅當x＞4時，
f（x）＞x²-4x+5．
（1）求函數f （x）的解析式；
（2）若函數，求h（x）的單調區間．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中三次函數f（x）=x³+ax²+bx+c，在（-∞，-1），（2，+∞）上單調增，在（-1，2）上單調減，可得f'（x）=3x²+2ax+b=0有兩根-1，2，由韋達定理可以求出a，b的值，進而得到函數f （x）的解析式；
（2）由（1）中結論可得函數的解析式，進而求出函數的導函數解析式，分類討論后綜合討論結果可得答案．
解答：解：（1）∵f（x）在（-∞，-1），（2，+∞）上單增，（-1，2）上單減
∴f'（x）=3x²+2ax+b=0有兩根-1，2
∴…2
令g′（x）=3x²-5x-2=（3x+1）（x-2）單調增，單調減
故
故．…5
（2）∵f′（x）=3x²-3x-6
h（x）的定義域：…6∴h（x）=x+1-（m+1）ln（x+m）（x＞-m且x≠2）…7
∴…9
①m＞-1時，-m＜1．x∈（-m，1）2時，h'（x）＜03；x∈（1，2）∪（2，+∞）4時，h'（x）＞05
∴h（x）在（-m，1）單減；在（1，2），（2，+∞）上單增；
②-2＜m≤-1時，h'（x）＞0在定義域內恒成立，h（x）在（-m，2），（2，+∞）上單增
③當m≤-2時，此時h（x）的定義域為：（-m，+∞），h（x）在（-m，+∞）上單增
綜上：當m≤-2時，h（x）在（-m，+∞）上單增；
當-2＜m≤-1時，h（x）在（-m，2），（2，+∞）上單增；
當m＞-1時，在（1，2），（2，+∞）上單增；在（-m，1）單減．…12
點評：本題考查的知識是函數的單調性與導數的關系，利用導數研究函數的單調性，其中（1）的關鍵是分析出f'（x）=3x²+2ax+b=0有兩根-1，2，（2）的關鍵是對m值進行分類討論．