Question

已知：三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，在（-∞，-1），（2，+∞）上單調(diào)增，在（-1，2）上單調(diào)減，當且僅當x＞4時，
f（x）＞x²-4x+5．
（1）求函數(shù)f （x）的解析式；
（2）若函數(shù)h(x)=

f′(x)

3(x-2)

-(m+1)ln(x+m)，求h（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）由已知中三次函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，在（-∞，-1），（2，+∞）上單調(diào)增，在（-1，2）上單調(diào)減，可得f'（x）=3x²+2ax+b=0有兩根-1，2，由韋達定理可以求出a，b的值，進而得到函數(shù)f （x）的解析式；
（2）由（1）中結(jié)論可得函數(shù)h(x)=

f′(x)

3(x-2)

-(m+1)ln(x+m)的解析式，進而求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)解析式，分類討論后綜合討論結(jié)果可得答案．

解答：解：（1）∵f（x）在（-∞，-1），（2，+∞）上單增，（-1，2）上單減
∴f'（x）=3x²+2ax+b=0有兩根-1，2
∴

-1+2=- 2a 3 -1×2= b 3

∴

a=- 3 2 b=-6

∴f(x)=x3-

3

2

x2-6x+c…2
令g(x)=f(x)-x2-4x+5=x3-

5

2

x2-2x+c-5g′（x）=3x²-5x-2=（3x+1）（x-2）g(x)在(-∞，-

1

3

)，(2，+∞)單調(diào)增，(-

1

3

，2)單調(diào)減
故

g(4)=0 g(- 1 3 )＜0

∴c=-11
故f(x)=x3-

3

2

x2-6x-11．…5
（2）∵f′（x）=3x²-3x-6
h（x）的定義域：…6∴h（x）=x+1-（m+1）ln（x+m）（x＞-m且x≠2）…7
∴h′(x)=1-

m+1

x+m

=

x-1

x+m

…9
①m＞-1時，-m＜1．x∈（-m，1）2時，h'（x）＜03；x∈（1，2）∪（2，+∞）4時，h'（x）＞05
∴h（x）在（-m，1）單減；在（1，2），（2，+∞）上單增；
②-2＜m≤-1時，h'（x）＞0在定義域內(nèi)恒成立，h（x）在（-m，2），（2，+∞）上單增
③當m≤-2時，此時h（x）的定義域為：（-m，+∞），h（x）在（-m，+∞）上單增
綜上：當m≤-2時，h（x）在（-m，+∞）上單增；
當-2＜m≤-1時，h（x）在（-m，2），（2，+∞）上單增；
當m＞-1時，在（1，2），（2，+∞）上單增；在（-m，1）單減．…12

點評：本題考查的知識是函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，其中（1）的關(guān)鍵是分析出f'（x）=3x²+2ax+b=0有兩根-1，2，（2）的關(guān)鍵是對m值進行分類討論．