Question

已知：三次函數f（x）=x³+ax²+bx+c，在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上單調增，在
（﹣1，2）上單調減，當且僅當x＞4時，f（x）＞x²﹣4x+5．
（1）求函數f （x）的解析式；
（2）若函數，求h（x）的單調區間

Answer 1

解：（1）∵f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上單增，（﹣1，2）上單減
∴f'（x）=3x²+2ax+b=0有兩根﹣1，2
∴ 
令 
g′（x）=3x²﹣5x﹣2=（3x+1）（x﹣2）
 單調增， 單調減
故  故 
（2）∵f′（x）=3x²﹣3x﹣6
h（x）的定義域：
∴h（x）=x+1﹣（m+1）ln（x+m）（x＞﹣m且x≠2）
∴ 
①m＞﹣1時，﹣m＜1．x∈（﹣m，1）時，h'（x）＜0；
x∈（1，2）∪（2，+∞）時，h'（x）＞0
∴h（x）在（﹣m，1）單減；在（1，2），（2，+∞）上單增；
②﹣2＜m≤﹣1時，h'（x）＞0在定義域內恒成立，
h（x）在（﹣m，2），（2，+∞）上單增
③當m≤﹣2時，此時h（x）的定義域為：（﹣m，+∞），
h（x）在（﹣m，+∞）上單增
綜上：當m≤﹣2時，h（x）在（﹣m，+∞）上單增；
當﹣2＜m≤﹣1時，h（x）在（﹣m，2），（2，+∞）上單增；
當m＞﹣1時，在（1，2），（2，+∞）上單增；在（﹣m，1）單減．