Question

【題目】在平面直角坐標系xoy中，已知中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線C的離心率為，且雙曲線C與斜率為2的直線l相交，且其中一個交點為P（﹣3，0）．

（1）求雙曲線C的方程及它的漸近線方程；

（2）求以直線l與坐標軸的交點為焦點的拋物線的標準方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】試題分析：（1）設出雙曲線方程，利用點在雙曲線以及雙曲線的離心率求解即可．

（2）求出直線與坐標軸的交點，然后利用拋物線的性質求解拋物線方程即可．

試題解析：（1）由題意，設雙曲線的方程為，∵點P（﹣3，0）在雙曲線上，∴a=3．∵雙曲線C的離心率為：，∴，∵c2=a2+b2，∴b=3，∴雙曲線的方程為：，其漸近線方程為：y=±x．

（2）由題意，直線l的方程為y=2（x+3），即y=2x+6，直線l與坐標軸交點分別為F1（﹣3，0），F(xiàn)2（0，6），∴以F1（﹣2，0）為焦點的拋物線的標準方程為y2=﹣12x；以F2（0，4）為焦點的拋物線的標準方程為x2=24y．