Question

【題目】已知數列{an}滿足：a1+a2+a3+…+an=n-an，（n=1，2，3，…）

（Ⅰ）求證：數列{an-1}是等比數列；

（Ⅱ）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3，…），如果對任意n∈N*，都有bn+t≤t2，求實數t的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析. （Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）利用a1+a2+a3+…+an＝n﹣an，再寫一式，兩式相減，整理可得數列{an-1}是等比數列；（Ⅱ）先確定bn，再利用bn+1﹣bn，確定bn有最大值b3＝b4，從而對任意n∈N*，都有bnt≤t2，等價于對任意n∈N*，都有t2t成立，由此可求實數t的取值范圍．

（Ⅰ）由題可知：，①

，②

②-①可得.

即：，又.

所以數列是以為首項，以為公比的等比數列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，

∴.

由可得，

由可得.

所以，，

故有最大值.

所以，對任意，都有，等價于對任意，都有成立.

所以，

解得或.

所以，實數的取值范圍是.