Question

【題目】已知橢圓的離心率為，點在橢圓上，，分別為橢圓的上、下頂點，點.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓的另一交點分別為，證明：直線過定點.

Answer 1

【答案】(1) (2)見證明

【解析】

(1)可根據橢圓離心率為、橢圓過點、橢圓三者之間的關系列出算式，通過計算即可得出結果；

(2)首先根據橢圓性質可得兩點坐標，并寫出直線的方程以及直線的方程，然后通過直線方程與橢圓方程聯立即可得出兩點的橫縱坐標，然后利用橢圓的對稱性設出定點坐標，通過直線的斜率等于直線的斜率即可列出方程并通過計算得出結果。

(1)由題意知，解得，所以橢圓的方程為。

(2)易知、，則直線的方程為，直線的方程為.

聯立，得，于是，，

同理可得，，

又由點及橢圓的對稱性可知定點在軸上，

設為，則直線的斜率，直線的斜率，

令，則，化簡得，解得，

所以直線過定點。