Question

直線l過點(diǎn)M(2，1)，且分別交x軸、y軸的正半軸于點(diǎn)A、B.點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)當(dāng)△ABO的面積最小時，求直線l的方程；
(2)當(dāng)最小時，求直線l的方程．

Answer 1

（1）x＋2y－4＝0（2）x＋y－3＝0

(1)如圖，設(shè)＝a，＝b，△ABO的面積為S，則S＝ab，并且直線l的截距式方程是＝1，

由直線通過點(diǎn)(2，1)，得＝1，所以.
因?yàn)锳點(diǎn)和B點(diǎn)在x軸、y軸的正半軸上，所以上式右端的分母b－1>0.由此得
S＝×b＝×b＝＝b＋1＋＝b－1＋＋2≥2＋2＝4.
當(dāng)且僅當(dāng)b－1＝，即b＝2時，面積S取最小值4，這時a＝4，直線的方程為＝1.
即直線l的方程為x＋2y－4＝0.
(2)如上圖，設(shè)∠BAO＝θ，則＝，＝，
所以＝·＝，
當(dāng)θ＝45°時，有最小值4，此時直線斜率為－1，∴直線l的方程為x＋y－3＝0