Question

【題目】已知函數(shù)恰有兩個(gè)極值點(diǎn).

(1)求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)求證：；

(3)求證： （其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】(1)；(2)證明見解析；(3)證明見解析.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到，設(shè)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定的范圍即可；

（2）求出，問題轉(zhuǎn)化為只要證明，設(shè)，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；

（3）求出，問題轉(zhuǎn)化為只需證明，根據(jù)，設(shè)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可．

(1)由題意得，故，

設(shè)，，

故時(shí)，時(shí)，，

故在遞增，在遞減，

又，

當(dāng)時(shí)， ，

故實(shí)數(shù)的范圍是；

(2)由(1)得，且，故，

要證明，只要證明，

只要證明，

設(shè)，

則，

故在遞增，

故，

故成立；

(3)由(1)得，

且，故，

由(1)得，要證明，

只需證明，

只需證明，

故

，

設(shè)，

則，

故在遞增，

結(jié)合，故，

，有，

故，

故.