Question

【題目】過直角坐標平面xOy中的拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作一條傾斜角為的直線與拋物線相交于A，B兩點．

(1)用p表示線段AB的長；

(2)若，求這個拋物線的方程．

Answer 1

【答案】（1）4p（2）y2＝4x.

【解析】試題分析：（1）先根據點斜式寫出直線方程，再與拋物線聯立方程組，利用韋達定理得兩根之和，最后根據拋物線定義求線段AB的長；（2）先根據向量數量積化簡，再根據點斜式設直線方程，與拋物線聯立方程組，利用韋達定理代入關系式，解出p

試題解析：解：(1)拋物線的焦點為F，過點F且傾斜角為的直線方程是y＝x－.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立

得x2－3px＋＝0，∴x1＋x2＝3p，x1x2＝，∴AB＝x1＋x2＋p＝4p.

(2)由(1)知x1x2＝，x1＋x2＝3p，

∴y1y2＝＝x1x2－ (x1＋x2)＋＝－＋＝－p2，

∴OA―→·OB―→＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－＝－3，

解得p2＝4，

∴p＝2.

∴這個拋物線的方程為y2＝4x.