Question

【題目】如圖，在多面體中，四邊形是邊長為的菱形，，與交于點，平面平面，，，.

（1）求證：平面；

（2）若為等邊三角形，點為的中點，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）可證，再利用平面平面證得平面，通過證明，可得要求證的線面垂直.

（2）建立空間直角坐標系，求出平面的法向量和平面的一個法向量后可求二面角的余弦值.

（1）證明：取的中點，連結、、，

因為，所以，

因為平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

因為、分別為、的中點，所以且.

又，，所以，所以四邊形為平行四邊形，

所以，所以平面.

（2）解：因為菱形，所以.

所以，，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，如圖所示，

則，，，，

所以，

所以，，

設平面的法向量為，

由得，

取，可得，

平面的一個法向量為，

設二面角的平面角為，

則，

因為二面角的平面角為銳角，

所以二面角的余弦值為.