Question

8．證明：${（x-\frac{1}{x}）^{2n}}$的展開式中的中間一項是${（-2）^n}\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{n!}$．

Answer 1

分析 根據二項展開式的通項公式，寫出并化簡展開式的中間一項即可．

解答 證明：${（x-\frac{1}{x}）^{2n}}$的展開式共有2n+1項，展開式的中間一項是：
T_n+1=${C}_{2n}^{n}$•xⁿ•${（-\frac{1}{x}）}^{n}$
=（-1）ⁿ•${C}_{2n}^{n}$
=（-1）ⁿ•$\frac{（2n）!}{n!•n!}$
=（-1）ⁿ•$\frac{{2}^{n}•n!•1×3×5×…×（2n-1）}{n!•n!}$
=（-2）ⁿ•$\frac{1×3×5×…×（2n-1）}{n!}$．

點評 本題考查了二項展開式的通項公式與應用問題，是基礎題．