Question

【題目】如圖，四棱錐的底面是邊長為2的菱形，平面平面，，，分別是棱，的中點.

（1）求證：平面；

（2）若，求與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）連接，交于點，可證明，.從而有平面.

同理，平面.得面面平行后可得線面平行；

（2）以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面的一個法向量，由空間向量法求得線面角的正弦值．

（1）連接，交于點，連接，.

由四邊形是菱形知是、中點.

因為，分別是棱，的中點，所以，.

又因為平面，平面，所以平面.

同理，平面.

因為，所以平面平面，

因為平面，所以平面.

（2）因為，，是中點，所以，，

因為平面平面，兩平面的交線為，所以平面，

因為是菱形，邊長為2，所以，，，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，如圖，

則，，，，，

，，，

設平面的一個法向量為，則

所以，取，則，

所以，

所以直線與平面所成角的正弦值為.