【題目】已知函數
，
．
（1）討論函數
的單調性；
（2）證明：若
，則對于任意
，不等式
恒成立．
【答案】（1）詳見解析；（2）證明見解析．
【解析】
（1）求定義域，求導
，再分類討論得導數符號，從而得出函數的單調性；
（2）原不等式即
，變形為
，只需
證恒成立；設函數
，
，結合導數易得
，
，由
，得
，從而得出證明．
（1）解：函數
的定義域為
，，
①當
時，
，則
在內單調遞減；
②當
時，由
得，
，解得
，由
得，
，則在
內單調遞減，在
內單調遞增；
③當
時，
，則
，則在內單調遞減；
④當
時，由得，，解得，或
，由得，
，則在，
內單調遞減，在
內單調遞增；
綜上：當時，在內單調遞減；在內單調遞增；
當
時，在內單調遞減；
當時，在，內單調遞減，在內單調遞增；
（2）證明：原不等式即，變形為，
∴只需證恒成立，
設函數，，
因為
，易得
在
單調遞增，在
上單調遞減，
所以，
，
在
單調遞減，在上
單調遞增，
所以，
因為，所以，即在內恒成立，
∴若，則對于任意
，不等式
．
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是直角梯形，
∥
，
，
是等邊三角形，側面
底面，
，
，
，點
是棱
上靠近點
的一個三等分點．
（1）求證：
∥平面
；
（2）設點
是線段（含端點）上的動點，若直線
與底面所成的角的正弦值為
，求線段
的長．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖已知
，
，
、
分別為
、
的中點
，將
沿
折起，得到四棱錐
，
為
的中點.
（1）證明：
平面
；
（2）當正視圖方向與向量
的方向相同時，的正視圖為直角三角形，求此時二面角
的余弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的左、右焦點分別為
，
，
為橢圓上任意一點，當
時，
的面積為
，且
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知直線
經點
，與橢圓交于不同的兩點
、
，且
，求直線的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
：
的離心率為
，設直線
過橢圓的上頂點和右焦點，坐標原點
到直線的距離為2.
（1）求橢圓的方程.
（2）過點
且斜率不為零的直線交橢圓于
，
兩點，在
軸的正半軸上是否存在定點
，使得直線
，
的斜率之積為非零的常數？若存在，求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.
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