Question

如圖，在△ABC中，點P是AB上的一點，且

CP

=

2

3

CA

+

1

3

CB

，Q是BC的中點，AQ與CP交于點M，設

CM

=λ 

CP

，

AM

=μ 

AQ

則實數λ+μ=（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  2

  3

• C．

  5

  4

• D．

  4

  5

Answer 1

分析：由已知中在△ABC中，點P是AB上的一點，且

CP

=

2

3

CA

+

1

3

CB

，Q是BC的中點，AQ與CP交于點M，設

CM

=λ 

CP

，

AM

=μ 

AQ

，根據三點共線的充要條件，我們易構造關于λ和μ的方程，并分別求出λ和μ的值，進而得到答案．

解答：解：∵

CP

=

CB

+

BP

=

2

3

CA

+

1

3

CB

化簡得：

BP

=

2

3

( CA - CB )

=

2

3

BA

即P為BA的三等分點，
∴

AP

=

1

3

AB

∵

AM

=μ 

AQ

=μ•

1

2

（

AB

+

AC

）=

3μ

2

AP

+

μ

2

AC

∵C，M，P三點共線
∴

3μ

2

+

μ

2

=1
解得μ=

1

2

又∵

CM

=λ 

CP

=

2λ

3

CA

+

λ

3

CB

=

2λ

3

CA

+

2λ

3

CQ

，
∵A，M，Q三點共線
∴

2λ

3

+

2λ

3

=1
解得λ=

3

4

故λ+μ=

5

4

故選C．

點評：本題考查的知識點是向量在幾何中的應用，三點共線的充要條件，其中當A，B，P三共線時，若O這直線外一點，且

OP

=λ

OA

+μ

OB

，則λ+μ=1，是解答本題的關鍵．