Question

如圖，在△ABC中，設

AB

=a，

AC

=b，AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．
（Ⅰ）若

AP

=λa+μb，求λ和μ的值；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，求平行四邊形ANPM和三角形ABC的面積之比

S平行四邊形ANPM

S△ABC

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）已知AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．可得

AP

=

AR + AC

2

，

AR

=

AQ + AB

2

，

AQ

=

1

2

AP

，消去

AR

，

AQ

，即可求解；
（Ⅱ）AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM其面積和三角形ABC的面積可以用公式s=

1

2

absinC，這個公式進行求解，再根據（Ⅰ）的結論很容易進行求解；

解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，設

AB

=a，

AC

=b，
AP的中點為Q，BQ的中點為R，CR的中點恰為P．

AP

=

AR + AC

2

，

AR

=

AQ + AB

2

，

AQ

=

1

2

AP

，消去

AR

，

AQ

∵

AP

=λa+μb，
可得

AP

=

1

2

（

AQ + AB

2

）+

1

2

AC

=

1

4

×

1

2

AP

+

1

4

AB

+

1

2

AC

，
可得

AP

=

2

7

AB

+

4

7

AC

=λ

a

+μ

b

，
∴

λ= 2 7 μ= 4 7

；
（Ⅱ）以AB，AC為鄰邊，AP為對角線，作平行四邊形ANPM，
∵得

AP

=

2

7

AB

+

4

7

AC

，
∴

S平行四邊形ANPM

S平行四邊形ABC

=

|AN|•|AM|•sin∠CAB

1 2 |AB|•|AC|•sin∠CAB

=2•

|AN|

|AB|

•

|AM|

|AC|

=2×

2

7

×

4

7

=

16

49

；

點評：此題主要考查向量中點的應用以及三角形面積公式的應用，本題涉及三角形中位線定理，以及向量中點的巧妙應用，是一道好題；