Question

已知過點A（-1，0）的動直線l與圓C：x²+（y-3）²=4相交于P，Q兩點，M是PQ的中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于點N，則下面運算結果為定值的有（　　）
①

AP

•

AQ

②

AM

•

AC

③

AC

•

AN

④

AM

•

AN

．

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：根據已知條件，我們可以求出兩條直線的交點N的坐標（含參數k），然后根據向量數量積公式，利用切割線定理判斷

AP

•

AQ

為定值，即可求出

AM

•

AC

，

AC

•

AN

，

AM

•

AN

的值，進而得到結論

解答：解：對于①，由題意

AP

•

AQ

=|

AP

|•|

AQ

|，過A作AT與圓相切，切點為T，根據切割線定理可知AT2=|

AP

|•|

AQ

|=定值．①正確．
對于②，

AM

•

AC

=

|AM

|•|

AC

|cos∠CAM=

AM

2不是定值，②不正確；
對于③，對于④，因為CM⊥MN，
∴

AM

•

AN

=(

AC

+

CM

)•

AN

=

AC

•

AN

+

CM

•

AN

=

AC

•

AN

，
當直線l與x軸垂直時，易得N（-1，-

5

3

），
則

AN

=（0，-

5

3

），又

AC

=（1，3），
∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=-5，
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=k（x+1），
則由 y=k（x+1）x+3y+6=0，得N（

-3k-6

1+3k

，

-5k

1+3k

），
則

AN

=（

-5

1+3k

，

-5k

1+3k

），
∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=

-5

1+3k

+

-15k

1+3k

=-5，
綜上，

AM

•

AN

與直線l的斜率無關，且

AM

•

AN

=-5．③④正確．
正確的個數為3個．
故選C．

點評：此題考查向量的數量積的應用，切割線定理的應用，學生掌握兩直線垂直時斜率滿足的條件，靈活運用平面向量的數量積的運算法則化簡求值，靈活運用點到直線的距離公式化簡求值，會利用分類討論的數學思想解決實際問題，是一道綜合題．