Question

已知過點A（-1，0）的動直線l與圓C：x²+（y-3）²=4相交于P、Q兩點，M是PQ中點，l與直線m：x+3y+6=0相交于點N．
（1）求證：當l與m垂直時，l必過圓心C；
（2）探索

AM

•

AN

是否與直線l的傾斜角有關？若無關，請求出其值；若有關，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由直線直線m方程得km=-

1

3

，從而得到m的垂線l的斜率k_l=3．利用直線方程的點斜式可得l的方程為y=3（x+1），而圓心C（0，3）適合直線l的方程，由此可得當l⊥m時，l必過圓心C．
（2）根據CM⊥MN，結合向量數量積的運算性質得

AM

•

AN

=

AC

•

AN

．然后分l⊥x軸時和l與x軸不垂直兩種情況加以討論，分別求出向量

AC

、

AN

的坐標，計算

AC

•

AN

并化簡可得

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=-5，即

AM

•

AN

的值與直線l的傾斜角無關．

解答：解：（1）∵直線m方程為x+3y+6=0，∴直線m的斜率km=-

1

3

又∵l⊥m，且km=-

1

3

，∴直線l的斜率k_l=3．
故直線l的方程為y=3（x+1），即3x-y+3=0（5分）
∵圓心C坐標（0，3）滿足直線l的方程，
∴當l⊥m時，l必過圓心C．（7分）
（2）∵CM⊥MN，可得

CM

•

AN

=0
∴

AM

•

AN

=(

AC

+

CM

)•

AN

=

AC

•

AN

（9分）
①當l⊥x軸時，易得N(-1，-

5

3

)，則

AN

=(0，-

5

3

)（10分）
又∵

AC

=(1，3)，∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=-5（12分）
②當l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y=k（x+1），則
由

y=k(x+1) x+3y+6=0

，解出N(

-3k-6

1+3k

，

-5k

1+3k

)，可得

AN

=(

-5

1+3k

，

-5k

1+3k

)（14分）
∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=

-5

1+3k

+

-15k

1+3k

=-5．
綜上所述，得

AM

•

AN

=-5，即

AM

•

AN

與直線l的傾斜角無關．（16分）

點評：本題在坐標系中討論直線與圓的位置關系，并求向量數量積

AM

•

AN

．著重考查了平面向量數量積的運算公式、直線的基本量與基本形式和直線與圓的位置關系等知識，屬于中檔題．