【題目】如圖，在四棱錐
中，
，
，
，
為等邊三角形，且平面
平面
，
為
中點.
（1）求證：
平面
；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】（1）證明見解析；（2）
.
【解析】
（1）可證
平面
，從而得到要證的線面垂直；
（2）過點
作
的垂線
，交于點
，連結
，可證二面角
的平面角為
，利用余弦定理可求其余弦值后可得其正弦值.我們也可以建立如圖所示的空間直角坐標系，求出平面
的法向量和平面
的法向量后可求它們的夾角的余弦值，從而得到二面角的正弦值.
（1）證明：因為
，
，
所以
，
又∵平面
平面
，且平面
平面
，
平面，
∴平面，又∵
平面，∴ 所以
，
∵
為
中點，且
為等邊三角形，∴
，又∵
，
∴
平面.
（2）【法一】過點作的垂線，交于點，連結，
取
中點為
，連接
.
因為為等邊三角形，所以
，
由平面平面，
平面，平面平面，
所以
平面，
平面，所以
，由條件知
，
又
，所以
平面
，
又
平面，所以
，
又
，所以
，
所以
，
由二面角的定義知，二面角的平面角為，
在
中，
，
由
，所以
，
同理可得
，
又
，在
中，
，
所以，二面角的正弦值為.
【法二】
取中點為，連接，因為為等邊三角形，所以，
由平面平面，平面，平面平面，
所以平面，
所以
，由
，
，
可知
，所以
，
以中點為坐標原點，
所在直線為
軸，建立如圖所示的空間直角坐標系
，
所以
，
，
所以
，
由（1）知，可以
為平面的法向量，
因為為的中點，
所以
，
由（1）知，平面的一個法向量為
，
設平面的法向量為
，
由
得
，
取
，則
，
所以
，
所以二面角的正弦值為.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】甲，乙兩臺機床同時生產(chǎn)一種零件，其質量按測試指標劃分：指標大于或等于100為優(yōu)品，大于等于90且小于100為合格品，小于90為次品，現(xiàn)隨機抽取這兩臺車床生產(chǎn)的零件各100件進行檢測，檢測結果統(tǒng)計如下：
測試指標 | [85，90） | [90，95） | [95，100） | [100，105） | [105，110） |
機床甲 | 8 | 12 | 40 | 32 | 8 |
機床乙 | 7 | 18 | 40 | 29 | 6 |
（1）試分別估計甲機床、乙機床生產(chǎn)的零件為優(yōu)品的概率；
（2）甲機床生產(chǎn)一件零件，若是優(yōu)品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品則虧損20元；假設甲機床某天生產(chǎn)50件零件，請估計甲機床該天的日利潤（單位：元）；
（3）從甲、乙機床生產(chǎn)的零件指標在[90，95）內的零件中，采用分層抽樣的方法抽取5件，從這5件中任選2件進行質量分析，求這2件都是乙機床生產(chǎn)的概率．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某化工廠一種溶液的成品，生產(chǎn)過程的最后工序是過濾溶液中的雜質，過濾初期溶液含雜質為2%，每經(jīng)過一次過濾均可使溶液雜質含量減少
，記過濾次數(shù)為x（
）時溶液雜質含量為y.
（1）寫出y與x的函數(shù)關系式；
（2）按市場要求，出廠成品雜質含量不能超過0.1%，問至少經(jīng)過幾次過濾才能使產(chǎn)品達到市場要求？（參考數(shù)據(jù)：
，
）
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分14分）
已知
， 
為橢圓
的左、右頂點， 
為其右焦點， 
是橢圓
上異于
， 
的動點，且
面積的最大值為
．
（Ⅰ）求橢圓
的方程及離心率；
（Ⅱ）直線
與橢圓在點
處的切線交于點
，當直線
繞點
轉動時，試判斷以
為直徑的圓與直線
的位置關系，并加以證明．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的離心率為
，其中左焦點
(-2,0).
（1） 求橢圓C的方程；
（2） 若直線y=x+m與橢圓C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點M在圓x2+y2=1上，求m的值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設函數(shù)
，函數(shù)
，
，其中
為常數(shù)，且
，令函數(shù)
為函數(shù)
和
的積函數(shù).
（1）求函數(shù)的表達式，并求其定義域；
（2）當
時，求函數(shù)的值域
（3）是否存在自然數(shù)，使得函數(shù)的值域恰好為
？若存在，試寫出所有滿足條件的自然數(shù)所構成的集合；若不存在，試說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】隨機抽取某中學甲、乙兩班各10名同學，測量他們的身高（單位：cm），獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖7.
（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪個班的平均身高較高；
（2）計算甲班的樣本方差；
（3）現(xiàn)從乙班這10名同學中隨機抽取兩名身高不低于173cm的同學，求身高為176cm的同學被抽中的概率。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知橢圓
（a＞b＞0）的離心率
，過點A（0，-b）和B（a，0）的直線與原點的距離為
．
（1）求橢圓的方程．
（2）已知定點E（-1，0），若直線y＝kx＋2（k≠0）與橢圓交于C、D兩點．問：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過E點?請說明理由．
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