Question

設x＞0，y＞0，z＞0，
（Ⅰ）比較

x2

x+y

與

3x-y

4

的大小；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結論，證明：

x3

x+y

+

y3

y+z

+

z3

z+x

≥

xy+yz+zx

2

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對兩個解析式作差，對差的形式進行化簡整理，判斷出差的符號，得出兩數的大小．
（Ⅱ）利用（Ⅰ）類比出一個結論，利用綜合法證明不等式即可．

解答：（Ⅰ）∵

x2

x+y

-

3x-y

4

=

(x-y)2

4(x+y)

≥0，∴

x2

x+y

≥

3x-y

4

．（5分）
（Ⅱ）由（1）得

x3

x+y

≥

3x2-xy

4

．
類似的

y3

y+z

≥

3y2-yz

4

，

z3

z+x

≥

3z2-zx

4

，（7分）
又x2+y2+z2-(xy+yz+zx)=

1

2

[(x-y)2+(y-z)2+(z-x)2]≥0；
∴x²+y²+z²≥xy+yz+zx（9分）（另證：x²+y²≥2xy，y²+z²≥2yz，z²+x²≥2zx，三式相加）．
∴

x3

x+y

+

y3

y+z

+

z3

z+x

≥

3x2-xy+3y2-yz+3z2-zx

4

=

3(x2+y2+z2)-xy-yz-zx

4

≥

3(xy+yz+zx)-xy-yz-zx

4

=

xy+yz+zx

2

（12分）

點評：本題考查綜合法與分析法，解題的關鍵是根據（I）類比出一個條件作為證明的前提．再利用綜合法證明，正確理解綜合法與分析法的原理與作用，順利解題很關鍵．