Question

設x＞0，y＞0，z＞0，且x²+y²+z²=1．
（Ⅰ）求證：xy+yz+xz≤1；   
（Ⅱ）求（

yz

x

+

xz

y

+

xy

z

）²的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用重要不等式x²+y²≥2xy，通過同向不等式可加性，直接求證：xy+yz+xz≤1；   
（Ⅱ）利用

y2z2

x2

+

x2z2

y2

≥2z²；

y2z2

x2

+

x2y2

z2

≥2y²；

x2z2

y2

+

x2y2

z2

≥2x²，推出（

yz

x

+

xz

y

+

xy

z

）²的不等關系，利用已知條件即可求出表達式的最小值．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為x²+y²≥2xy；  
 y²+z²≥2yz；   
 x²+z²≥2xz；
所以x²+y²+z²≥xy+yz+xz；
故xy+yz+xz≤1，
當且僅當x=y=z時取等號；---------------------（6分）
（Ⅱ）因為

y2z2

x2

+

x2z2

y2

≥2z²；

y2z2

x2

+

x2y2

z2

≥2y²；

x2z2

y2

+

x2y2

z2

≥2x²
所以

y2z2

x2

+

x2z2

y2

+

x2y2

z2

≥x²+y²+z²=1；
而（

yz

x

+

xz

y

+

xy

z

）²=

y2z2

x2

+

x2z2

y2

+

x2y2

z2

+2（x²+y²+z²）≥3
所以（

yz

x

+

xz

y

+

xy

z

）²≥3，當且僅當x=y=z時取等號；
故當x=y=z=

3

3

時，（

yz

x

+

xz

y

+

xy

z

）²的最小值為3．------------（14分）

點評：本題考查不等式的證明方法綜合法的應用，重要不等式的應用，考查分析問題與解決問題的能力．