Question

【題目】已知函數f(x)的定義域是{x|x≠0}，對定義域內的任意，都有f(·)＝f()＋f()，且當x>1時，f(x)>0，f(2)＝1.

(1)證明：(x)是偶函數；

(2)證明：(x)在(0，＋∞)上是增函數；

(3)解不等式(2－1)<2.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）令，求得，再由，求得，進而得出，即可得到證明；

（2）根據函數的單調性的定義，即可證得函數的為單調遞增函數；

（3）由（1）（2）可把不等式 轉化為，進而得，即可求解.

(1)證明　令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，

∴f(1)＝0.令x1＝x2＝－1，得f(－1)＝0，

∴f(－x)＝f(－1·x)＝f(－1)＋f(x)＝f(x)．

∴f(x)是偶函數．

(2)證明　設x2>x1>0，

則f(x2)－f(x1)＝f(x1·)－f(x1)

＝f(x1)＋f()－f(x1)＝f()，

∵x2>x1>0，∴>1.

∴f()>0，即f(x2)－f(x1)>0.

∴f(x2)>f(x1)．

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函數．

(3)解　∵f(2)＝1，∴f(4)＝f(2)＋f(2)＝2.

又∵f(x)是偶函數，

∴不等式f(2x2－1)<2可化為f(|2x2－1|)<f(4)．

又∵函數f(x)在(0，＋∞)上是增函數，∴|2x2－1|<4.

解得－ <x<，即不等式的解集為(－，)．