Question

【題目】已知橢圓：的長軸長為4，離心率為．直線交于點，傾斜角互補，且直線與橢圓的交點分別為（點在點的右側）.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）證明：直線的斜率為定值；

（Ⅲ）在橢圓上是否存在一點，恰好使得四邊形為平行四邊形，若存在，分別指出此時點和的坐標；若不存在，簡述理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）證明見解析（Ⅲ）存在，

【解析】

（Ⅰ）根據長軸長和離心率即可容易求得，則橢圓方程可得；

（Ⅱ）由點在橢圓上，結合的斜率互為相反數，結合韋達定理，即可容易求得兩點的坐標，即可求證斜率為定值；

（Ⅲ）根據題意，即可容易求得對應點的坐標.

（Ⅰ）根據題意得解得

所以橢圓的方程為．

（Ⅱ）易知點在橢圓上.

設直線 ，即．

令

消去得．

設，則．

所以．

因為直線和的傾斜角互補，所以直線．

設，同理可得．

所以

．

即直線的斜率為定值．

（Ⅲ）存在符合已知條件，

且使得四邊形為平行四邊形．