Question

已知數列{an}滿足a1+2a2+4a3+…+2n-1an=9-6n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設bn=n(3-log2

|an|

3

)，探求使

n

i=1

1

bi

＞

m-1

6

恒成立的m的最大整數值．

Answer 1

分析：（1）由a1+2a2+4a3+…+2n-1an=9-6n，知a1+2a2+4a3+…+2n-2an-1=9-6(n-1)，由此能求出數列{a_n}的通項公式．
（2）由bn=n(3-log2

|an|

3

)，當n=1時，b1=3，當n≥2時，bn=n(3-log2

1

2n-2

)=n[3-(-n+2)]=n(n+1)，從而得到bn=

3，n=1 n(n+1)，n≥2

，由此能求出求使

n

i=1

1

bi

＞

m-1

6

恒成立的m的最大整數值．

解答：解：（1）∵a1+2a2+4a3+…+2n-1an=9-6n①
∴a1+2a2+4a3+…+2n-2an-1=9-6(n-1)②
①-②得：2^n-1a_n=-6，∴an=-

3

2n-2

當n=1時，由題設得a₁=3，
∴an=

3(n=1) - 3 2n-2 (n≥2)

（2）∵bn=n(3-log2

|an|

3

)，當n=1時，b1=3
當n≥2時，bn=n(3-log2

1

2n-2

)=n[3-(-n+2)]=n(n+1)，
∴bn=

3，n=1 n(n+1)，n≥2

，
設{

1

bn

}前n項和為S_n，
當n=1時，S₁=

1

3

＞

m-1

6

，得m＜3  ①
當n≥2時Sn=

n

i=1

1

bi

=

1

3

+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)=

5

6

-

1

n+1

（n≥2）
S_n（n≥2）遞增，其最小值為S2=

5

6

-

1

3

=

1

2

．要使

n

i=1

1

bi

＞

m-1

6

（n≥2），
只須

1

2

＞

m-1

6

，即m＜4，②
綜上m＜3，又∵m為整數，∴m的最大值為2．

點評：本題考查數列的通項公式的求法，考查滿足條件的實數的最大值的求法，解題時要認真審題，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用．