Question

【題目】已知函數 .

(1)當時，求曲線在點處的切線方程；

(2)當時，設函數，且函數有且僅有一個零點，若當時， 恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出時， 的導數，求得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程；

（2）令，求得，令，求出導數，令，求出導數，求得單調性，可得的最大值，當時，，求出的單調性，由條件，即可得到的范圍.

解:(1)當時， 的定義域為，

.

，

又，曲線在處的切線方程為.

(2)令，則 ，

即，令，

則 .

令，，

，在上是減函數，

又，所以當時， ，當時， ，

在上單調遞增，在上單調遞減，

.

當函數有且僅有一個零點時， .

當時， ，

若，恒成立，只需.

，令得或，

，

數在上單調遞增，在上單調遞

減，在上單調遞增，又，

，

，

即，，

，即實數的取值范圍為.