Question

【題目】已知函數，，且與的圖象有一個斜率為1的公切線（為自然對數的底數）.

（1）求；

（2）設函數，討論函數的零點個數.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）由與的圖象有一個斜率為1的公切線，分別對與求導并求出切線方程，列出等量關系可得；

（2）利用換元將轉化為二次函數，分類討論對其單調性，對圖像特點進行分析，分情況討論出函數的零點個數.

（1）可得.

在處的切線方程為，

即.

.

在處的切線方程為，

故

可得.

（2）由（1）可得，

，

令，則，

，

時，有兩根，

且，

，

得：，

在上，，

在上，，

此時，.

又時，時，.

故在和上，

各有1個零點.

時，

最小值為，故僅有1個零點.

時，.

其中，同，

在與上，

各有1個零點，

時，，僅在有1個零點，

時，對方程.

方程有兩個正根，.

在上，，在上，，在，.

由，可得，

故.

，

故.

故在上，，

在上，，

在上，有1個零點：.

時，恒成立，

為增函數，僅有1個零點：.

綜上，或時，有1個零點，

或時，有2個零點.