Question

如圖,點M,N是邊長為4的正△ABC的邊AB,AC的中點,現將△AMN沿MN折起,使平面AMN⊥平面BCNM.在四棱錐A—BCNM中,

(1)求異面直線AM與BC所成的角;

(2)求直線BA與平面ANC所成角的正弦值;

(3)在線段AB上,是否存在一個點Q,使MQ⊥平面ABC?若存在,試確定點Q的位置;若不存在,請說明理由.

Answer 1

解:(1)∵BC∥MN,∠AMN就是異面直線AM與BC所成的角,

∴異面直線AM與BC所成的角為60°.

(2)取MN,BC的中點為O,D,

這時OD⊥MN,平面AMN⊥平面BCNM,

∴AO⊥平面BCNM.

分別以直線NM,OD,OA為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系,如圖,

則A(0,0,),B(2,,0),C(-2,,0),N(-1,0,0),M(1,0,0).

設平面ANC的法向量為n=(x,y,z),

則

∴

取n=(x,y,z)=(3,,-),又=(2,,-).

從而cos〈n,〉=,

∴直線BA與平面ANC所成角的正弦值為.

(3)假設在線段AB上存在Q(x,y,z),

設=λ,

則(x-2,y-,z)=λ(-2,-,),

這時x=2-2λ,y=-λ,z=λ,

從而MQ=(1-2λ,-λ,λ),解得λ=.

∴存在點Q,使MQ⊥平面ABC,點Q是AB的中點.