Question

如圖，已知△ABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點，線段MN經過△ABC的中心G，設ÐMGA=a（）
（1）試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S₁與S₂）表示為a的函數．
（2）求y=的最大值與最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據G是邊長為1的正三角形ABC的中心，可求得AG，進而利用正弦定理求得GM，然后利用三角形面積公式求得S₁，同理可求得S₂
（2）把（1）中求得S₁與S₂代入求得函數的解析式，進而根據α的范圍和余切函數的單調性求得函數的最大和最小值．
解答：解：（1）因為G是邊長為1的正三角形ABC的中心，
所以AG=，
∠MAG=，
由正弦定理
得
則S₁=GM•GA•sina=
同理可求得S₂=

（2）y==
=72（3+cot²a）
因為，
所以當a=或a=時，y取得最大值y_max=240
當a=時，y取得最小值y_min=216
點評：本題主要考查了解三角形問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．