Question

如圖，已知△ABC是邊長為1的正三角形，M、N分別是邊AB、AC上的點，線段MN經過△ABC的中心G，設?MGA=a（

π

3

≤α≤

2π

3

）
（1）試將△AGM、△AGN的面積（分別記為S₁與S₂）表示為a的函數．
（2）求y=

1

S12

+

1

S22

的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）根據G是邊長為1的正三角形ABC的中心，可求得AG，進而利用正弦定理求得GM，然后利用三角形面積公式求得S₁，同理可求得S₂
（2）把（1）中求得S₁與S₂代入求得函數的解析式，進而根據α的范圍和余切函數的單調性求得函數的最大和最小值．

解答：解：（1）因為G是邊長為1的正三角形ABC的中心，
所以AG=

2

3

×

3

2

=

3

3

，
∠MAG=

π

6

，
由正弦定理

GM

sin π 6

=

GA

sin(π-α- π 6 )

得GM=

3

6sin(α+ π 6 )

則S₁=

1

2

GM•GA•sina=

sinα

12sin(α+ π 6 )

同理可求得S₂=

sinα

12sin(α- π 6 )

（2）y=

1

y 2 1

+

1

y 2 2

=

144

sin2α

〔sin2(α+

π

6

)+sin2(α-

π

6

)〕
=72（3+cot²a）
因為

π

3

≤α≤

2π

3

，
所以當a=

π

3

或a=

2π

3

時，y取得最大值y_max=240
當a=

π

2

時，y取得最小值y_min=216

點評：本題主要考查了解三角形問題．考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．