Question

【題目】已知函數f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax2﹣3x，函數g（x）的圖象在點（1，g（x））處的切線平行于x軸．
（1）求a的值；
（2）求函數g（x）的極小值；
（3）設斜率為k的直線與函數f（x）的圖象交于兩點A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），（x1＜x2），證明： ＜k＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：依題意得g（x）=lnx+ax2﹣3x，則 ．

由函數g（x）的圖象在點（1，g（x））處的切線平行于x軸得：g′（1）=1+2a﹣3=0

∴a=1

（2）解：解：函數g（x）的定義域為（0，+∞）．

由（1）得

令g′（x）=0得x= 或x=1．

∴函數故（x）在（0， ），（1，+∞）上單調遞增，在（ ，1）單調遞減．

故函數g（x）的極小值為g（1）=﹣2

（3）證明：依題意得 = ，

∴lnx2﹣kx2=lnx1﹣kx1，

令h（x）=lnx﹣kx，則h′（x）= ，

由h′（x）=0得 ，當x＞ 時，h′（x）＜0，當0＜x＜ 時，h′（x）＞0，

∴h（x）在（0， ）單調遞增，在（ ，+∞）單調遞減，

又h（x1）=h（x2），

∴ ，即 ＜k＜

【解析】（1）求導函數，利用由函數g（x）的圖象在點（1，g（x））處的切線平行于x軸，可得：g′（1）=0，即可求a的值；（2）確定函數的單調性，即可求函數g（x）的極小值；（3）表示出直線的斜率，再構造函數，研究函數的單調性，即可證明結論．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用函數的極值和不等式的證明的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握極值反映的是函數在某一點附近的大小情況；不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等．