Question

【題目】已知函數 ．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）判斷f（x）在[2，+∞）上的單調性，并證明．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）的定義域為（﹣∞，0）∪（0，+∞），

且 ，

∴f（x）是奇函數

（2）解：f（x）在[2，+∞）單調遞增，證明如下：

證法一：

設2≤x1＜x2，

∴ ，

∵x2＞x1，且x1x2＞4，

∴

∴f（x1）＜f（x2），

即證f（x）在（2，+∞）上單調遞增

證法二：

∵ ，

當x∈[2，+∞）時，f′（x）＞0恒成立，

即f（x）在（2，+∞）上單調遞增

【解析】（1）由 ，可得f（x）是奇函數；（2）f（x）在[2，+∞）單調遞增，證法一：作差，利用單調性的定義可證明；證法二：求導，可證明．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解奇偶性與單調性的綜合的相關知識，掌握奇函數在關于原點對稱的區間上有相同的單調性；偶函數在關于原點對稱的區間上有相反的單調性，以及對利用導數研究函數的單調性的理解，了解一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減．