Question

（理）已知正方形ABCD的邊長為1，PD⊥平面ABCD，PD=3，
（1）若E是棱PB上一點，過點A、D、E的平面交棱PC于F，求證：BC∥EF；
（2）求二面角A-PB-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用直線和平面平行的判定定理得AD∥面PBC，再利用直線和平面平行的性質定理得AD∥EF，最后根據平行線的傳遞性證出BC∥EF．
（2）連接AC交DB于O證出，AO⊥面PDB，過O作OH垂直PB于H，連接AH得出PB⊥面AOH，所以AH⊥PB，∠AHO 則為二面角A-PB-D的 的平面角．在直角三角形AOH中求解．
解答：解：（1）證明∵AD∥BC，AD?面PBC，BC?面PBC，根據直線和平面平行的判定定理得AD∥面PBC．
又AD?面ADE，面ADE∩面PBC=EF由直線和平面平行的性質定理得AD∥EF∴BC∥EF．
（2）∵PD⊥平面ABCD，∴面PDB⊥平面ABCD，面PDB∩平面ABCD=DB．
連接AC交DB于O，AO⊥面PDB，過O作OH垂直PB于H，連接AH，PB⊥AOH，AH⊥PB，
∠AHO 則為二面角A-PB-D的 的平面角．
在△PDB中，BO：PB=OH：PD，即：=OH：3，∴OH=，
在直角三角形AOH中，tan∠AHO==，∠AHO=arctan．
點評：本題主要考查空間線線、線面關系、二面角的度量、考查化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力