Question

如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是線段EF的中點.

 (1)(理)求證：AM∥平面BDE；

(文)求證：AM⊥平面BDF₁；

(2)求二面角A-DF-B的大小；

(3)(理)試在線段AC上確定一點P，使得PF與BC所成的角是60°.

Answer 1

思路解析:本題要利用線面平行和線面垂直的判定和性質以及線線角和面面角的定義.

(1)證明：(理)如圖，記AC與BD的交點為O，連結OE，

∵O、M分別是AC、EF的中點，四邊形ACEF是矩形，

∴四邊形AOEM是平行四邊形.∴AM∥OE.

∵OE平面BDE，AM平面BDE，

∴AM∥平面BDE.

(文)如圖，∵BD⊥AC，BD⊥AF，且AC交AF于A，

∴BD⊥平面AE.又∵AM平面AE，∴BD⊥AM.

∵AD=2，AF=1，OA=1，∴AOMF是正方形.

∴AM⊥OF.又AM⊥BD，且OF∩BD=O,∴AM⊥平面BDF.

 

(2)解:如圖，在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結BS，

∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，

∴AB⊥平面ADF.

∴AS是BS在平面ADF上的射影.

由三垂線定理得BS⊥DF.

∴∠BSA是二面角A-DF-B的平面角.

在Rt△ASB中，AS=，AB=，

∴tan∠ASB=3，∠ASB=60°.

∴二面角A-DF-B的大小為60°.

(3)解:(理)如圖，設CP=t(0≤t≤2)，作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，AB∩AF=A，

∴PQ⊥平面ABF，QF平面ABF.

∴PQ⊥QF.

在Rt△PQF中，∠FPQ=60°，PF=2PQ.

∵△PAQ為等腰直角三角形，

∴PQ=(2-t).

又∵△PAF為直角三角形，

∴PF=

∴(2-t).

∴t=1或t=3(舍去)，

即點P是AC的中點.