Question

（09年長沙一中第八次月考理）(本小題滿分12分)如圖，已知正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，EF//AC,∠CAF=∠AFE=90º,AB=，AF=FE=1.

（1）求證EC//平面BDF；

（2）求二面角A-DF-B的大小；

（3）試在線段AC上確定一點P，使得PF與BC所成的角是60°．

Answer 1

解析： 解法一: (1)記AC與BD的交點為O,連接OF, ∵OC=EF=1 EF//AC∴四邊形EFOC是平行四邊形，

∴CE∥OF．∵平面BDF，平面BDF，∴CE∥平面BDF．

(2)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結BS，∵AB⊥AF， AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂線定理得BS⊥DF．∴∠BSA是二面角A―DF―B的平面角．

在RtΔASB中，

∴∴二面角A―DF―B的大小為60º．

（3）設CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，

∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF．在RtΔPQF中，∠FPQ=60º，PF=2PQ．

∵ΔPAQ為等腰直角三角形，∴又∵ΔPAF為直角三角形，∴，∴所以t=1或t=3(舍去),即點P是AC的中點．

解法二： 空間響亮求解參照計分．