Question

（2013•南通三模）已知函數f(x)=

ax2-2x-1，x≥0 x2+bx+c，x＜0

是偶函數，直線y=t與函數y=f（x）的圖象自左向右依次交于四個不同點A，B，C，D．若AB=BC，則實數t的值為

-

7

4

．

Answer 1

分析：由f（x）是偶函數可得x＞0時恒有f（-x）=f（x），根據該恒等式即可求得a，b，c的值，從而得到f（x），令t=f（x），可解得A，B，C三點的橫坐標，根據AB=BC可列關于t的方程，解出即可．

解答：解：因為f（x）是偶函數，所以x＞0時恒有f（-x）=f（x），即x²-bx+c=ax²-2x-1，
所以（a-1）x²+（b-2）x-c-1=0，
所以

a-1=0 b-2=0 -c-1=0

，解得a=1，b=2，c=-1，
所以f（x）=

x2-2x-1，x≥0 x2+2x-1，x＜0

，
由t=x²+2x-1，即x²+2x-1-t=0，解得x=-1±

t+2

，
故x_A=-1-

t+2

，x_B=-1+

t+2

，
由t=x²-2x-1，即x²-2x-1-t=0，解得x=1±

t+2

，
故x_C=1-

t+2

，
因為AB=BC，所以x_B-x_A=x_C-x_B，即2

t+2

=2-2

t+2

，解得t=-

7

4

，
故答案為：-

7

4

．

點評：本題考查函數奇偶性的性質及二次函數的圖象、性質，考查數形結合思想，屬中檔題．