Question

給定雙曲線x2-

y2

2

=1，過A（1，1）能否作直線m，使m與所給雙曲線交于B、C兩點，且A為線段BC中點？這樣的直線若存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：假設存在，設出方程與雙曲線方程聯立，利用A為線段BC中點，結合韋達定理，求出k的值，驗證根的判別式，可得結論．

解答：解：假設存在題設中的直線m．---------1′
設直線m的方程為y-1=k（x-1），-----------2′
由

x2- y2 2 =1 y-1=k(x-1)

----------4′
得（2-k²）x²+2k（k-1）x-k²+2k-3=0
設B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）--------6′，
則x1+x2=

2k(1-k)

2-k2

=2，解得：k=2-------------11′
此時，△＜0，所以k=2時，直線m與雙曲線不相交，
故假設不成立，即題中的直線m不存在．--------------13′

點評：本題考查直線與雙曲線的位置關系，考查韋達定理的運用，驗證根的判別式是關鍵．