Question

已知A（-1，0），B（1，0），設M（x，y）為平面內的動點，直線AM，BM的斜率分別為k₁，k₂，
①若

k1

k2

=2，則M點的軌跡為直線x=-3（除去點（-3，0））
②若k₁•k₂=-2，則M點的軌跡為橢圓x2+

y2

2

=1（除去長軸的兩個端點）
③若k₁•k₂=2，則M點的軌跡為雙曲線x2-

y2

2

=1
④若k₁+k₂=2，則M點的軌跡方程為：y=x-

1

x

（x≠±1）
⑤若k₁-k₂=2，則M點的軌跡方程為：y=-x²+1（x≠±1）
上述五個命題中，正確的有

①④⑤

（把所有正確命題的序號都填上）．

Answer 1

分析：分別根據斜率公式計算出k₁，k₂，然后根據斜率關鍵得到對應的軌跡方程，然后判斷即可．

解答：解：由題意知k1=

y-0

x+1

=

y

x+1

，(x≠-1)，k2=

y-0

x-1

=

y

x-1

，(x≠1)．
①若

k1

k2

=2，則

y x+1

y x-1

=

x-1

x+1

=2，即x=-3．此時k₂≠0，所以y≠0，即不含（-3，0）點．所以①正確．
②若k₁•k₂=-2，則

y

x+1

?

y

x-1

=-2，即x2+

y2

2

=1，此時x≠±1，所以此時對應的軌跡為橢圓，除去短軸的兩個端點，所以②錯誤．
③若k₁•k₂=2，則

y

x+1

?

y

x-1

=2，即x2-

y2

2

=1，此時x≠±1，所以此時對應的軌跡為雙曲線，除去實軸的兩個端點，所以③錯誤．
④若k₁+k₂=2，則

y

x+1

+

y

x-1

=2，即2xy=2x²-2，即y=x-

1

x

（x≠±1），所以④正確．
⑤若k₁-k₂=2，則

y

x+1

-

y

x-1

=2，即-2y=2x²-2，即y=-x²+1（x≠±1），所以⑤正確．
故正確的是①④⑤．
故答案為：①④⑤．

點評：本題主要考查直線的斜率公式以及軌跡方程的判斷，利用條件分別代入化簡即可，主要斜率存在的隱含條件x≠±1．