Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

3

cos2x+sinxcosx-

3

2

．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期T，并求出函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）求在[0，3π）內(nèi)使f（x）取到最大值的所有x的和．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)將f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

化為f（x）=sin（2x+

π

3

），即可求得函數(shù)f（x）的最小正周期T及函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由f（x）=sin（2x+

π

3

）=1可求得x，由x∈[0，3π）即可求得f（x）取到最大值的所有x的和．

解答：解：（1）∵f（x）=

3

cos²x+sinxcosx-

3

2

=

3 (1+cos2x)

2

+

1

2

sin2x-

3

2

=

3

2

cos2x+

1

2

sin2x
=sin（2x+

π

3

），…（2分）
故T=π，…（4分）
∵2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）…（6分）
（2）∵f（x）=1即sin（2x+

π

3

）=1，則2x+

π

3

=2kπ+

π

2

，
∴x=kπ+

π

12

（k∈Z）…（8分）
∵0≤x＜3π，
∴k=0，1，2…（10分）
∴在[0，3π）內(nèi)使f（x）取到最大值的所有x的和為

13π

4

…（12分）

點(diǎn)評：本題考查兩角和與差的三角函數(shù)，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查規(guī)范答題與運(yùn)算能力，屬于中檔題．