Question

【題目】設(shè)、為平面向量，若存在不全為零的實(shí)數(shù)λ，μ使得λμ0，則稱(chēng)、線(xiàn)性相關(guān)，下面的命題中，、、均為已知平面M上的向量．

①若2，則、線(xiàn)性相關(guān)；

②若、為非零向量，且⊥，則、線(xiàn)性相關(guān)；

③若、線(xiàn)性相關(guān)，、線(xiàn)性相關(guān)，則、線(xiàn)性相關(guān)；

④向量、線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是、共線(xiàn)．

上述命題中正確的是 （寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）

Answer 1

【答案】①④

【解析】

利用和 線(xiàn)性相關(guān) 等價(jià)于 和 是共線(xiàn)向量，故①正確，②不正確，④正確．通過(guò)舉反例可得③不正確．

解：若、線(xiàn)性相關(guān)，假設(shè)λ≠0，則，故 和 是共線(xiàn)向量．

反之，若 和 是共線(xiàn)向量，則 ，即λμ0，故 和 線(xiàn)性相關(guān)．

故 和 線(xiàn)性相關(guān) 等價(jià)于 和 是共線(xiàn)向量．

①若2 ，則 2 0，故 和 線(xiàn)性相關(guān)，故①正確．

②若 和 為非零向量，⊥，則 和 不是共線(xiàn)向量，不能推出和 線(xiàn)性相關(guān)，故②不正確．

③若和 線(xiàn)性相關(guān)，則 和 線(xiàn)性相關(guān)，不能推出若和 線(xiàn)性相關(guān)，例如當(dāng) 時(shí)，

和 可以是任意的兩個(gè)向量．故③不正確．

④向量和 線(xiàn)性相關(guān)的充要條件是 和 是共線(xiàn)向量，故④正確．

故答案為 ①④．