Question

【題目】如圖，已知圓G：x2﹣x+y2=0，經過拋物線y2=2px的焦點，過點（m，0）（m＜0）傾斜角為 的直線l交拋物線于C，D兩點． （Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）若焦點F在以線段CD為直徑的圓E的外部，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵圓G：x2﹣x+y2=0與x軸交于（0，0），（1，0）， 圓G：x2﹣x+y2=0，經過拋物線y2=2px的焦點，
∴拋物線y2=2px的焦點F（1，0），
∴拋物線的方程為：y2=4x．
（Ⅱ）設C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），
∵ ，則（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＞0，
設l的方程為： ，
于是
即
由 ，得x2﹣（2m+12）x+m2=0，
∴ ，
于是 ，
故 ，
又△=（2m+12）2﹣4m2＞0，得到m＞﹣3．
∴ 或m＞2 ．
【解析】（Ⅰ）圓G：x2﹣x+y2=0與x軸交于（0，0），（1，0），從而拋物線y2=2px的焦點F（1，0），由此能求出拋物線的方程．（Ⅱ）設C（x1 ， y1），D（x2 ， y2），則（x1﹣1）（x2﹣1）+y1y2＞0，設l的方程為： ，則 ，由 ，得x2﹣（2m+12）x+m2=0，由此利用韋達定理結合已知條件能求出m的取值范圍．