Question

【題目】如圖，在四棱錐 中，底面 為矩形， 是 的中點， 是 的中點， 是 中點.

（1）證明： 平面 ；
（2）若平面 底面 ， ，試在 上找一點 ，使 平面 ，并證明此結論.

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接 ，交 于點 ，連接 .

∵四邊形 為矩形，
∴ 為 的中點.
又 為 的中點，∴ .
又 是 的中點， 是 中點，∴ ，∴ .
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面
（2）解： 的中點 即為所求的點.
證明如下：
連接 ，
∵ 為 的中點，∴ ， .
又 為 的中點，且四邊形 為矩形，
∴ ， .
∴ ， .
∴四邊形 為平行四邊形，∴ .
∵平面 底面 ，平面 底面 ， 底面 ， ，
∴ 平面 ，
又 平面 ，∴ .∴ .
又∵ ， 是 的中點，∴ ，∴ .
又 平面 ， ，∴ 平面 .
PC 的中點 G 即為所求的點.
【解析】（1）證明線面平行的要點是在平面中找到一條與所證直線平行的直線;
（2）探索直線上一點使線面垂直，可先找到一點，再利用判定定理進行證明.