Question

【題目】已知數列，，為數列的前項和，向量，，

．

（1）若，求數列通項公式；

（2）若，．

①證明：數列為等差數列；

②設數列滿足，問是否存在正整數，，且，，使得、、成等比數列，若存在，求出、的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①見解析；②存在，符合題意.

【解析】分析：（1）利用兩個向量平行的坐標關系得到，進而求解數列的通項公式；

（2）①由，則，又由，兩式相減即可得到數列的遞推公式，進而得到數列的首項和公差，即可作出證明.

②中由①得到數列的通項公式，根據的范圍，討論可能的取值，即可得到結論.

詳解：（1）因為，，

得：，當，則①

當時，，即

又②

②－①得：，

即，所以，又，

所以是首項為2，公比為2的等比數列

所以

（2）①證明：因為，則③

當時，，即

又④

④－③得：

即：⑤

又⑥

⑥－⑤得：

即，所以數列為等差數列．

②又，，

所以數列是首項為，公差為的等差數列．

，所以，

假設存在正整數，，且，，使得、、成等比數列，

即，

可得：

整理得：，即，

由，得，

一一代入檢驗或或或或或或或

由，為正整數，，且，，所以存在，符合題意