Question

△ABC中，三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列．
（1）若b=7，a+c=13，求此三角形的面積；
（2）求

3

sinA+sin(C-

π

6

)的取值范圍．

Answer 1

分析：由三內(nèi)角成都城數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)求出B的度數(shù)，
（1）利用余弦定理表示出b2，配方后把b，a+c及cosB的值代入求出ac的值，然后由ac的值及sinB的值，利用三角形的面積公式即可求出此三角形的面積；
（2）把所求的式子先利用兩角差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，合并后再利用兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由A的范圍求出此角的范圍，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得到正弦函數(shù)的值域，即可得到所求式子的范圍．

解答：解：因?yàn)锳，B，C成等差數(shù)列，所以B=60°，
（1）由b²=a²+c²-2accos60°=（a+c）²-3ac，
即7²=13²-3ac，得ac=40，（5分）
所以△ABC的面積S=

1

2

acsinB=10

3

；（7分）
（2）

3

sinA+sin(C-

π

6

)=

3

sinA+sin(

π

2

-A)
=

3

sinA+cosA=2sin(A+

π

6

)（11分）
又由題可知A∈（0，

2π

3

），
所以A+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
所以sin（A+

π

6

）∈（

1

2

，1]，
則

3

sinA+sin(C-

π

6

)=2sin(A+

π

6

)∈(1，2]．（14分）

點(diǎn)評(píng)：此題綜合考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，余弦定理，三角形的面積公式，正弦函數(shù)的值域以及三角函數(shù)的恒等變換，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．