Question

在△ABC中，三內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c．
（1）若c=

6

，A=45°，a=2，求C、b；
（2）若4a²=b²+c²+2bc，sin²A=sinB•sinC，試判斷△ABC的形狀．

Answer 1

分析：（1）△ABC中，由正弦定理 求出sinC的值，可得C的值，由三角形內(nèi)角和公式可得到B的值，利用兩角和的正弦求出sinB的值，再由正弦定理求出b．
（2）由sin²A=sinB•sinC，可得 a²=bc，根據(jù)4a²=b²+c²+2bc，可得b=c，故△ABC為等腰三角形．

解答：解：（1）△ABC中，由正弦定理可得

2

2 2

=

6

sinC

，∴sinC=

3

2

，∴C=60°，∴B=75°．
∴sin75°=sin（45°+30°）=sin45°cos30°+cos45°sin30°=

6 + 2

4

．
再由正弦定理可得

2

2 2

=

b

sin75°

=

b

6 + 2 4

，∴b=

3

+1．
（2）∵sin²A=sinB•sinC，∴a²=bc，
又4a²=b²+c²+2bc，∴（b-c）²=0，
∴b=c，故△ABC為等腰三角形．

點評：本題考查正弦定理的應(yīng)用，兩角和的正弦公式，判斷三角形的形狀的方法，是一道中檔題．