Question

如圖所示，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上點(diǎn)A處有一個水聲監(jiān)測點(diǎn)，另兩個監(jiān)測點(diǎn)B、C分別在A的正東方20 km處和54 km處．某時刻，監(jiān)測點(diǎn)B收到發(fā)自靜止目標(biāo)P的一個聲波，8 s后監(jiān)測點(diǎn)C相繼收到這一信號，在當(dāng)時的氣象條件下，聲波在水中的傳播速度是1.5 km/s．

(1)設(shè)A到P的距離為x km，用x表示B、C到P的距離，并求x的值；

(2)求靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離(精確到0.01 km)．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意PA－PB＝1.5×8＝12 km，PC－PB＝1.5×20＝30 km， 　　∴PB＝x－12，PC＝x＋18． 　　在△PAB中，AB＝20，由余弦定理，得 　　cos∠PAB＝＝＝． 　　同理，可得cos∠PAC＝． 　　又cos∠PAB＝cos∠PAC，∴＝． 　　解得x＝km． 　　(2)由題意作PD⊥α，垂足為D， 　　在Rt△PDA中， 　　PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·≈17.71 km． 　　∴靜止目標(biāo)P到海防警戒線a的距離約為17.71 km． 　　思路解析：(1)由收到信號的先后可建立PA、PB、PC之間的長度關(guān)系， 　　然后分別在△PAB和△PAC中，有一公共角，利用余弦定理求出cos∠PAB、cos∠PAC，可建立關(guān)于x的方程． 　　(2)由題意作PD⊥α，垂足為D，要求PD的長，只需求出PA的長及∠APD的余弦值，也即cos∠PAB的值，由(1)可求得．