Question

如圖所示，a是海面上一條南北方向的海防警戒線，在a上點A處有一個水聲監測點，另兩個監測點B、C分別在A的正東方20 km處和54 km處．某時刻，監測點B收到發自靜止目標P的一個聲波，8 s后監測點A，20 s后監測點C相繼收到這一信號，在當時的氣象條件下，聲波在水中的傳播速率是1.5 km/s．

(1)設A到P的距離為x km，用x表示B，C到P的距離，并求x的值；

(2)求靜止目標P到海防警戒線a的距離．(精確到0.01 km)

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由題意PA－PB＝1.5×8＝12 km，PC－PB＝1.5×20＝30 km，∴PB＝x－12，PC＝x＋18． 　　在△PAB中，AB＝20，由余弦定理，得 　　 　　． 　　同理，可得． 　　又cos∠PAB＝cos∠PAC，∴． 　　解得km． 　　(2)由題意作PD⊥a，垂足為D，在Rt△PDA中，PD＝PAcos∠APD＝PAcos∠PAB＝x·≈17.71(km)．∴靜止目標P到海防警戒線a的距離約為17.71 km． 　　思路分析：(1)由收到信號的先后可建立PA、PB、PC之間的長度關系，然后分別在△PAB和△PAC中，有一公共角，利用余弦定理求出cos∠PAB，cos∠PAC，可建立關于x的方程． 　　(2)由題意作PD⊥a，垂足為D，要求PD的長，只需求出PA的長及∠APD的余弦值，也即cos∠PAB的值，由(1)可求得．